【まとめ】二項ロジスティック回帰分析をわかりやすく解説。

すごく久しぶりの記事になります。

大学院修士での最終審査が終わり、ようやく肩の荷がおりました。

私の研究では、フレイル高齢者の生活リズムについて取り扱いました。

自分の研究に関与しない種類の統計は正直そんなに知りませんが、二項ロジスティック回帰分析については、かなり勉強したので、忘備録してまとめておきます。

サンプル表の説明

こちらにある表を使って説明します。これは私の研究結果の一部であり、「プレフレイル（体が弱っている高齢者）なのか、フレイルなし（健康な高齢者）なのかの予測因子として、握力と生活リズムが悪くなることだ」という結果を示しています。画像に①〜⑩まで示してあるので、それを一つずつ解説していきます。

①二項ロジスティック回帰分析

回帰分析は、一方の変数から他方の変数を予測する分析で、回帰式（例：y = a + bx）を作って、データxとデータyの関係を表すことができます。言い換えれば、双方の因果関係を仮定して、データxがデータyに与える影響の程度を知ることができるということです。

回帰分析の種類

• 二項ロジスティック回帰分析：目的変数が2値
• 多項ロジスティック回帰分析：目的変数が3値以上の名義尺度
• 順序ロジスティック回帰分析：目的変数が3値以上の順序尺度

回帰分析にはいくつか種類がありますが、そのうち目的変数が”２値”あるのが、二項ロジスティック回帰分析です。

２値の説明をすると、”高齢者”という目的変数があり、それが”フレイルなし”か、”プレフレイル”か、その目的変数の分岐が２つあるということです。コンピュータが理解できるように、”フレイルなし”を０、”プレフレイル”を１とナンバーをつけています。

他の例では、”性別”という目的変数があり、それが”男性”か、”女性”か、分岐が２つあるから２値ということです。

さらに、”性別”という目的変数の分岐が、”男性”、”女性”、”バイセクシャル”なら３値なので、多項ロジスティック回帰分析が適用になるということになります。

②目的変数

目的変数とは、回帰式（例：y = a + bx）では、yに該当し、調べたいことです。本研究では、フレイルなし”か、”プレフレイル”か、が調べたいことになります。人によって、従属変数や基準変数と表現されます。英語論文では、従属変数（dependent variable）と表記されることが多い気がします。

③説明変数

説明変数とは、回帰式（例：y = a + bx）では、xに該当し、yに影響を与える原因となっている変数です。本研究では、”握力”と”生活リズム”がそれに当たります。人によって、独立変数や予測変数と表現されます。英語論文では、独立変数(independent variable)と表記されることが多い気がします。

④決定係数（β） 

決定係数（β）とは、目的変数（y）への影響度を示します。これは、数字が０よりも離れるほど影響が強くなります。本研究では、”握力”が-0.18で、”生活リズム”が-8.78なので”生活リズム”の影響が強いことになります。

しかも、符号がマイナス（-）になっています。マイナスは、負の影響を意味するので、”生活リズム”の低下は、”プレフレイル（体が弱っている高齢者）”に強く影響するということになります。

⑤オッズ比

オッズ比は、決定係数と同じく目的変数（y）への影響度を示しています。これは、１から離れるほど、影響が強くなります。本研究では、”握力”が0.84で、”生活リズム”が0.0002なので”生活リズム”の影響が強いことになります。

しかも、１未満の場合は、負の影響を意味します。決定係数の理解と同じく、”生活リズム”の低下は、”プレフレイル（体が弱っている高齢者）”に強く影響するということになります。

⑥95％信頼区間

95％信頼区間とは、算出されたオッズ比が95％の確率でどの範囲にあるのかを示しています。本研究では、握力の信頼区間は、0.76から0.93となっており、オッズ比の0.84がこの範囲に入っています。

⑦P値

P値は有意差をみる指標です。本研究では、”握力”も”生活リズム”も0.01より小さいので有意差があったということになります。

しかし、回帰分析では抽出された説明変数がP＜0.05であることが望ましいとされていますが、必須ではないのです。重要なのは、次の段落で説明する”モデルχ2検定”で有意性が保証されることです。

⑧モデルχ2検定

モデルχ2検定は、p＜0.05だと、回帰式の有意性を保証する検定です。本研究では、p＜0.0001なのでこの回帰式の有意性が保証されています。

⑨Hosmer&Lemeshowの検定

Hosmer&Lemeshow（ホスマー・レメショウ）検定は、モデルの適合度を調べます。p<0.05であればモデルは適合していないとされるので、本研究では、p = 0.33なので、適合していなくはない、つまり適合しているということになります。

⑩判別的中率

判別的中率とは、このモデルがどれくらい正確なのかを示す確率です。本研究では、68％であるため、100人中、68人が正しく”プレフレイル（体が弱っている高齢者）”と予測されていることになります。本当はできるだけ100％に近い方が良いので、68％の判別的中率は低い方だと言えます。

【補足】本研究の回帰モデル

では、今回の結果から導かれる回帰式はどのようになるかいうと、

y　＝　11.549 -0.18×握力 -8.78×生活リズム

※定数a = 11.549 ←SPSSなどの統計ソフトで自動で算出されます。値は毎回違います。

となります。

握力が３０㎏で生活リズムが０.７だったら

y　＝　11.549 -0.18×３０ -8.78×０.７

　  ＝    11.549 -5.4 -6.146

　  ＝    11.549 -5.4 -6.146

 　 ＝　0.003

このyの値は、以下の式に代入します。

p > 0.5なら目的変数１のプレフレイル、p < 0.5なら目的変数０のフレイルなしに分類

p = 1(1 + exp(-1 × y))

p = 1(1 + exp(-0.003))

p = 1(1 +0.997)
p = 0.501

⇨本症例は握力は３０kgだが、生活リズムが乱れているのでプレフレイルに相当する

※exp(-0.003)は、エクセルのExp関数を使うと簡単に出てきます。

【補足】生活リズムは何を指している？

統計には関係ないことですが、今回の回帰分析の説明変数に生活リズムとあります。これは、日中と夜間の活動量の差を指しています。この差が大きいと動くときは動いて、寝るときは寝る、メリハリのある生活リズムということを意味しています。

記事の最後になりますが、目的変数の”生活リズム”というワードでイメージつきにくいときは、”生活のメリハリの程度”と解釈してもらって良いです。これは余談でした。